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items: 如何快速判断一个大数能否被2~9整除

如何快速判断一个大数能否被2~9整除
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date: 2026-06-28T10:50:00+08:00
description: 近期看大宝的作业其中有讲如何快速判断一个大数能否被整除，这里整理一下备查。定理a*b除以c的余数等于a除以c的余数*b除以c的余数即 a*b mod c = (a mod c) * (b mod c) mod 表示取余。原理设：a = k1*c + x b = k2*c + y则：a*b = (k1*c+x)*(k2*c+y) = k1*k2*c*c + (k1*y+k2*x)*c + x*y = [k1*k2*c + (k1*y+k2*x)]*c + x*y明显 [k1*k2*c + (k1*y+k2*x)]*c包含因数c，取余时可直接舍去。故：a*b mod c = x*y mod c2这个简单直接看末位能否被2整除。3所有数位上的数字相加能被3整除。原理：abc = a*(3*33+1) + b*(3*3+1) +c =3*33*a + 3*3*b + a + b + c 明显3*33*a + 3*3*b能被3整除，故只用考虑 a + b + c能被3整除。4最后两位能被4整除。还有简便计算：ab(一个两位数)，a*2 + b能被4整除。原理：abc = a*（4*25） + b*(4*2+2) +c =4*25*a + 4*2*b + 2*b + c 明显4*25*a + 4*2*b能被4整除，故只用考虑 2*b + c能被3整除。5末位为0或5。6同时被2和3整除。7以三位分节，然后奇减偶，结果能被7整除。还有简便计算abc(一个三位数)，a*2 + b*3 + c能被7整除。原理1、 10 、 100、1000、10000、100000……除7的余数分别为1、3、2、6、4、5、1、3、2、6、4、5……即1 3 2 6 4 5的循环同时6 4 5又可以写为-1 -3 -2因此可以改写为1 3 2 -1 -3 -2 1 3 2 -1 -3 -2……即从个位起以三位分节。余数按1 3 2循环，奇数节为正，偶数节为负。例：123456789123456先分节： 大数|123 | 456 | 789 | 123 | 456 :-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-: 分节|5 | 4 | 3 | 2 | 1 所有奇数节为 1 3 5 对应 456 789 123 所有偶数节为 2 4 对应 123 456 奇减偶：(456 + 789 + 123) - (123 + 456) = 789 再运用简便计算：7*2 + 8*3 + 9 = 47 => 47/7=6 ··· 5 即123456789123456除以7余5。注：如各节加和为负则对应余数加7转换为正数。8末三位能被8整除。简便计算abc(一个三位数)，a*4 + b*2 + c 能被8整除。原理dabc = d*8*125 + a*(8*12+4) + b*(8+2) +c = d*8*125 + a*8*12 + b*8 + a*4 + b*2 +c即余数等同于 a*4+b*2+c进阶推广任意大数除以2的n次方时，余数只需要考虑末n位记最后n位为X(1)X(2)……X(n)则结果为X(1)*2^(n-1) + X(2)*2^(n-2) + …… + X(n)*2^(n-n)9所有数位上的数字相加能被9整除。原理abc = a*(9*11+1) + b*(9*1+1)+c = a*9*11 + b*9*1 + a + b + c 即余数等同于 a + b + c